عددشيطان

عدد شيطان كتاب خوبي براي آشنايي با برخي مفاهيم اساسي در رياضيات است
كه با بياني روان و به شكل داستان ارايه شده است.
اطلاعاتي در حدود رياضيات دوره راهنمايي براي درك مطالب كتاب كفايت مي كند.
فقط كمي حوصله و دقت لازم است تا از مطالعه كتاب لذت وافري ببريد.
كناب را از انتشارات مدرسه ميتوانيد خريداري فرماييد.
كتاب را مي توانيد از طريق آدرس ذيل نيز خريداري كنيد.
خريد اينترنتي

دل نما

برگ درخت ارغوان
دلنما(دل وار) ( cardioid).

دلگون(Cardioid) :اگر دايره اي به شعاع 1 واحد مماس بر دايره اي به شعاع 1 واحد، حول آن بغلطد،شكلي كه يك نقطه از محيط دايره ي غلتان بر آن حركت مي كند را دلگون گويند .

همه چيز را در باره كارديوييد در اينجا ببينيد.

دلنما در ويكيپديا

راز اعداد در زبان انگلیسی

آیا تا به حال به این فکر کرده‌اید که چرا در زبان انگلیسی اعداد به صورت 1و2و3و4 و… نوشته می‌شوند؟
نوشتن هر یک از این اعدادبه اين اشكال دلیلي دارد و آن تعداد زاویه‌های موجود در اعداد است.
ماجرا از این قرار است که به ازای هر عدد تعدادزاویه آن عدد نشانگر آن عدد است.
مثلا عدد ۱ چون تنها یک زاویه دارد، یک خوانده می‌شود. ۲ چون دو زاویه دارد، دو خوانده می‌شود و…
برای درک بهتر به عکس زیر نگاه کنید:
به نقل از

happy box

عاشق و معشوق

اعداد متحابه(دوستدار يكديگر)

هنگامی که از فیثاغورس پرسیده شد رفیق كیست؟

جواب داد: "کسی که من دیگریست بدان گونه که ۲۲۰ و ۲۸۴ هستند."

عدد 284 را در نظر بگيريد:

مقسوم علیه های 284 عبارتند از 1،2،4،71،142

و مجموع اینها برابر است با 220.

حالا عدد 220را در نظر بگيريد:

مقسوم علیه های 220 عبارتند از : 1،2،4،5،10،11،20،22،44،55،110

که مجموع اینها نیز برابر 284 است .

بعد ها این عقیده ی خرافی پدید آمد که دو طلسم حاوی این اعداد دوستی تمام عیاری بین حاملین آن ها ایجاد خواهند کرد. این اعداد نقش مهمی در سحرو جادو واحکام نجوم و طالع بینی پیدا کردند .

نکته جالب دیگر داستان مورد تردید در باره یک شاهزاده دوره باستان است که نامش بنا به علم حروف برابر عدد ۲۸۴ بود. این شاهزاده سالهای سال دنبال دختری برای ازدواج می گشت که نامش برابر عدد ۲۲۰ باشد و معتقد بود که این عامل باعث خوشبختی در زندگی او می شود.

يكي از نكات عجيب در مورد اعداد متحابه آنكه هيچ زوج ديگري تا زمان اعلام اعداد 17296و18416توسط پيردوفرما در سال 1636كشف نگرديد.در سال 1747اويلر جستجوي سازمان يافته اي براي يافتن اعدادمتحابه به عمل آوردوطي آن 30زوج را عرضه كرد كه بعدا به 60زوج گسترش يافت.

نكته ي عجيب درتاريخ اين اعداد،كشف اعداد كوچك و از نظر دور مانده1184و1210به وسيله پسرك شانزده ساله ايتاليايي،نيكولوپاگانيني در سال 1866بود.(آفرين به نيكولو).

امروز بيش از 1000زوج اعداد متحابه شناخته شده است.

فايل pdf را دريافت كنيد

اعداد متحابه

اعداد تام

اعدادتام

امروز مي خوام از اعداد جالب ديگري براتون بنويسم اعداد تام يا كامل

به مجموعه های زیر توجه کنید :

{4 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های 4

{6، 3 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های6

{12، 6 ، 4 ،3 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های 12

{17،1}مجموعه مقسوم علیه های 17

{28،14،7،4،2،1}مجموعه مقسوم علیه های 28

حال به مجموع مقسوم علیه های هر عدد بجز خودش توجه کنید :

3=2+1 ، مجموع مقسوم علیه های 4 بجز 4

6=3+2+1 مجموع مقسوم علیه های6 بجز 6

16=6+4+3+2+1، مجموع مقسوم علیه های12 بجز 12

1 ، مجموع مقسوم علیه های 17 بجز 17

28=14+7+4+2+1 مجموع مقسوم علیه های 28

ملاحظه می کنید که مجموع مقسوم علیه های هر عدد بجز خودش، می تواند کوچکتر از آن عددباشه[1] مانند (4و17) ، برابر با آن عددباشه مانند (6و28) یا بزرگتر از آن باشه[2]، مانند(12).

از بین اعداد فوق دو عدد6و28 اعدادکاملن[3]،چون با مجموع مقسوم علیه های کوچکتر از خودشون برابرند.[4]

اگر عددی با مجموع مقسوم علیه های کوچکتر از خودش برابر باشه،آن عدد را عدد کامل می‌گن.

نخستین دو عدد کامل (6 و 28 ) از زمانهای بسیار قدیم شناخته شده بودند . دو عدد کامل بعدی ( 496 و 8128 ) را اقلیدس پيدا كرد . پس از هزار و پانصد سال از زمان اقلیدس ، پنجمین عدد کامل (33550336)شناخته شد[5] . تاکنون با استفاده از کامپیوتر های قوی و مجهز،ریاضیدانان تونستن در مجموع 24 عدد کامل را پيدا كنن. جالبه بدونید ، بیست و چهارمین عدد کامل بیش از دوازده هزار رقم دارد .

در مورد اعداد کامل دو پرسش اساسی وجود داره که تاکنون بدون پاسخ مانده است :

1- آیا مجموعه اعداد کامل ، متناهیه یا نامتناهی؟

2- آیا اعداد فرد کامل نیز وجود دارن یا خیر ؟

****

موضوع اعداد تام به روزگارباستان برمي‌گرده ودرطول‌تاريخ ويژگيهاي مرموز بسياري رو به اونا نسبت دادن.رياضي دان هاي يوناني علاقه ي ويژه اي به اونها داشتن.

براي اينكه بريم تو دل اعداد تام به كمي مقدمه،يه كم حوصله و دقت نياز داريم .اولين نكته اينه كه بعضي از اعداد اول رو مي شه به صورت2ⁿ-1نوشت. وحشت نكنيد. فرار نكنيد! الان توضيح مي دم.بسيار ساده س فرض كنيم

n=2در اين صورت مقدار عبارت2ⁿ-1برابر1-2² ودر نهايت عدد 3 خواهد شد.(3اوله پس اين ادعا برايn=2بر قراره.يعني به ازايn=2فرمول ما عدد اول توليد مي كنه.)

حالا شمامي تونيدبه ازايn=2,3,4,5,6,7فرمول را كنترل كنيد. خيلي راحت! يادتون باشه موقع مطالعه‌ي رياضيات حتما يه قلم وكاغذ كنار دستتون باشه و هيچ نكته اي را بدون دليل نپذيريد.هر جا ابهامي هست موضوع روبنويسيد دوباره كنترل كنيد.

برايn=3مقدارعبارت2ⁿ-1برابر7هست. 7=1-2³

برايn=4 مقدارعبارت2ⁿ-1برابر15هست.(كه به درد نمي خوره)اگه گفتين چرا؟

وبه ازاي5n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر31هست31=1-2⁵

وبه ازاي6n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر63هست63=1- 2⁶ (اين هم بدرد بخور نيست)

وبه ازاي7n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر127هست127=1-2⁶

.

همونطوركه ملاحظه كرديدبه ازاي n=2,3,7,5, فرمول ماعدد اول توليد مي كنه

و براي6و n=4 اعداد15 و63 توليد مي شن كه اول نيست.

پس بعضي از اعداد اول به صورت2ⁿ-1هستند.به اين اعداد مي گن اعداد اول"مِرسِن". "مرسن" يه كشيش بودو اين اعداد رو اون پيدا كرد.

كه چي؟!اين همه صغرا وكبري واسه‌‌‌‌‌ي چيه؟ اعداد مرسن [6]به چه درد مي‌خورن؟اينهاچه ربطي به اعدادتام دارن؟

نكته همين جاست.اعداد تام ارتباطي نزديك با اعداد مرسن دارند.

قضيه اقليدس

اگر اول2ⁿ-1باشد(2ⁿ-1)^n-12 يك عددتام است.

حالا يه بررسي اوليه روي اين ادعا انجام مي ديم.(اينها روحتما بنويسيدو كنترل كنيد)

براي2 n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر3هست و مقدار2ⁿ-1) ( ^n-12 برابربا6 است.

براي n=3مقدارعبارت2ⁿ-1برابر7هست و مقدار2ⁿ-1) ( ^n-12 برابربا28 است.

براي n=5مقدارعبارت2ⁿ-1برابر31هست ومقدار2ⁿ-1) ( ^n-12 برابر496است.

براي7n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر127هست و مقدار2ⁿ-1) ( ^n-12برابر 8128 است.و.....عجب! همشون تام هستن!

مثل اينكه اين بابا اقليدس هم يه چيزايي حاليش بوده.

اما يادتون باشه تا اينجاي كار اين فقط يه ادعاست.اينكه براي چن تا عدد اين رابطه بر قراره دليل نمي شه ما اين ادعا رو قبول كنيم.

اين قضيه اثبات زيبايي داره خيلي هم كوتاه و ساده اس.

اونايي كه دوس دارن و اهل حال مي تونن برن دنبالش.

يه نكته ي ظريف اينجا وجود داره

آيا همه ي اعداد تام الزامابه صورت2ⁿ-1) ( ^n-12 هستند.

به عبارت ديگه آيا عكس قضيه ي اقليدس برقراره

2000سال طول كشيد تا اويلر به اين سوال پاسخ داد

قضيه اويلر

هر عدد تام زوج به صورت2ⁿ-1) ( ^n-12است كه در آن2ⁿ-1اول است.

تقريبا تكليف اعداد تام مشخص شد.

با اين حساب هر عدد تام رو مي تونيم به صورت2ⁿ-1) ( ^n-12 بنويسيم.

و اگه بتونيم عددي رو به صورت2ⁿ-1) ( ^n-12بنويسيم اون عدد تامه.[7]

يعني اگه عددتامي وجود داشته باشه به شكل فرمول بالاست و اگه عددي تو بتونه درفرمول بالا رو قرار بگيره اون يه عدد تام هست.

من عمدا كلمه ي زوج رو با قرمز نشون دادم.شما ممكنه بپرسيد مگه عدد تام فرد هم وجود داره؟من نمي دونم.يعني وجود نداره؟ بازم من نمي دونم. هيچكس نمي دونه!تا حالا هيچكس نتونسته يه عدد تام فرد رو ارائه بده. هيچكس هم نتونسته ثابت كنه عدد تام[8] وجود نداره يا اينكه همه ي اعداد تام الزاما زوج هستن! اينم يكي از اون معماهاي تاريخيه.مخصوص آدمهاي فضول دوران ما و بعد از ما!!

---

همه چيز در باره ي اعداد تام

---

مي ناميدند.(Defective) اين اعداد را ناقص [1]

مي ناميدند.(Excessive)اين اعداد را زائد[2]

28و6 كوچكترين اعداد تام هستندكه هندي ها و عبراني ها با آنها آشنا بودندبرخي از مفسران كتاب مقدس6و28 را اعداد اساسي مهندس اعلاي فلكي مي دانستند.انها به خلقت در شش روز و به دوره 28 روزه ي تناوب ماه اشاره مي كنند.

سنت اگوستين مي‌‌گويد:شش در ذات خود عددي است تام نه بخاطراينكه خداوند همه چيز را در شش روز آفريدبلكه بر عكس همه چيز را به اين دليل در شش روز آفريد كه اين عدد تام است.واگر خلقت شش روزه هم وجود نداشت باز اين عدد تام بود.[3]

تاكنون42عدد زوج تام شناخته شده است(تا 18فوريه 2005)كه 31 عدد آخراز سال1900به بعد كشف شده اند.چهل و دومين (بزرگترين عدد)عبارت است از

(1-2^25964951)2^25964950 كه داراي7816230رقم است!

تعريف ديكري هم براي اعداد تام موجوده يه عدد تامه اگر مجموع مقسوم عليه هاش(خود عدد و مقسوم عليه هاي كوچكتر از خودش)دو برابر اون عدد باشن.

مثلا مقسوم عليه هاي عدد6عبارتند از 1و2و3و6بنابر اين مجموع مقسوم عليه هاي عدد 6 برابره با12(اين تعريف در اثبات برخي قضايا كاربرد داره)

ششمين عدد تام8,589,869,056است. [5]

تاكنون 42عدد اول مرسن شناخته شده است بزرگترين انها1-2^25964951[6]

فايل PDF رو از اينجا بگيريد.

اعداد تام

افسانه اعداد

غربال اراتستن

چند روزه ذهنم بااعدادو زيباييهاي اونا درگيرشده.بعد از 20سال فيلم ياد هندسون كرده.به سرم زده زيباييهاي درس نظريه اعداد را براتون بگم.[1]نمي دونم چطوري ميشه اون مسايل و قضاياي پيچيده رو مطرح كرد ولي بنا به قولي:دانشي كه نتوني اونو با مردم كوچه و بازار مطرح كني بدردلاي جرز مي خوره!

فكر مي كنم بعضي از ادما دوست داشتن هر چيزي رو تجزيه كنن و ريشه ي هر چيزي رو در بيارن.

مثلا هزاران سال طول كشيد تا مندليفي پيدا بشه و به اين سوال كه قرنها مثل خوره افتاده بودبه جون آدماي فضول[2] جواب بده.[3]

مندليف تو جدول تناوبي عناصرش گفت: هر ماده اي كه در اطراف ماست تركيبي از يك يا جندعنصر از عناصر104گانه توي جدوله

تو بقيه ي علوم هم كمابيش همينطوره.

اما اين حرفها جه ربطي به رياضي و علم اعداد داره.

الان مي گم. بايد قول بديد يه كم صبور باشيد.يكي مي گفت رياضي يعني رياضت. من نمي دونم اين حرف چقدر درسته؟ رياضت اگه با صبر و حوصله همراه باشه نتيجه

مي ده .

****

اعدادو روابطشون هميشه ذهن اين آدمهاي فضول رو درگير خودش كرده بود.

آخه آدما همش با عدد سرو كار داشتن.

هنوز هم همينطوره. ما همش بااين اعدادسرو كار داريم . اصلا دست بردار نيستن.

ساعت چنده؟كي مي ري مدرسه ؟كي برمي گردي؟چندتانون مي خواهي؟جند كيلو؟

شماره تلفنت چيه؟وزنت چقدره؟ شماره عينكت چنده؟سايزكفشت چنده؟

امروزچه روزيه؟

3شنبه 17فروردين سال1389

در پاسخ اين سوالات و هزاران سوال مشابه شمااز عدد استفاده مي كنيد.

هزاران سال ذهن آدمهاي فضول در گير اعداد و خاصيت و روابط اونا بوده

يكي از اونا اراتستن بود.اراتستن حدود300سال قبل از ميلاد مسيح زندگي مي كرد.

اون مي خواست ته و توي اين اعداد رو در بياره و به سوالاتي كه تو ذهنش ايجاد شده بود پاسخ بده.

براي اين كار اعداد يك تا صد رو در نظر گرفت.و يه عالمه خاصيت رو توي اين اعداد پيدا كرد.

مثلا اون ديد كه عدد 81همون عدد 3 هست كه چهار مرتبه در هم ضرب شده.

عدد 32 همون عدد 2 هست كه 5 بار در خودش ضرب شده

يا مثلا 15 همون5هست كه در3 ضرب شده

اراتستن به سرش زد يه غربال ورداره و اين عددهاي از اتا 100 رو بريزه تو الك(غربال) و اونهارو غربال كنه. ديديد وقتي خاك رو غربال مي كنن نخاله هاش ته الك(غربال) جا مي مونه. اراتستن هم همين كار رو انجام داد اعداد 1تا 100رو ريخت تو غربال . نخاله هاش رو نگهداشت و بقيه اش رو دور ريخت.

يه كم ديگه درمورد غربالش توضيح مي دم.اون يه جدول كشيد و اعداد از يك تا صد رو توش نوشت.

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
20	19	18	17	16	15	14	13	12	11
30	29	28	27	26	25	24	23	22	21
40	39	38	37	36	35	34	33	32	31
50	49	48	47	46	45	44	43	42	41
60	59	58	57	56	55	54	53	52	51
70	69	68	67	66	65	64	63	62	61
80	79	78	77	76	75	74	73	72	71
90	89	88	87	86	85	84	83	82	81
100	99	98	97	96	95	94	93	92	91

جدول1

عدد 2 را انتخاب كرد.بعد همه ي مضارب دو رو پيدا كرد مثل 4و6و8و10و....و همشون رو خط زدو از جدولش ريخت بيرون.(فقط دو را نگه داشت)

	9		7		5		3	2	1
	19		17		15		13		11
	29		27		25		23		21
	39		37		35		33		31
	49		47		45		43		41
	59		57		55		53		51
	69		67		65		63		61
	79		77		75		73		71
	89		87		85		83		81
	99		97		95		93		91

جدول 2

بعدرفت سراغ عدد 3و بعد مضراب 3 مثل 6و9و12و15و...پيدا كردوبه خدمت همشون

رسيد گوش اونا رو گرفت و اونها رو هم از جدولش ريخت بيرون[4](سه رو نگه داشت)(جدول2)

			7		5		3	2	1
	19		17				13		11
	29				25		23
			37		35				31
	49		47				43		41
	59				55		53
			67		65				61
	79		77		75		73		71
	89				85		83
			97		95				91

(جدول3)

خوب حالا نوبت بعدي بود.درست حدس زديد.مضراب عدد5(جدول3)

			7		5		3	2	1
	19		17				13		11
	29						23
			37						31
	49		47				43		41
	59						53
			67						61
	79		77				73		71
	89						83
			97						91

(جدول شماره4)

در اخرين مرحله حالا نوبت مضارب 7 بود. (جدول شماره4)

اينها ته غربال موندند.

					5		3	2	1
	19		17				13		11
	29						23
			37						31
			47				43		41
	59						53
			67						61
	79						73		71
	89						83
			97

ارتستن با دقت بهشون نگاه كرد.

اين وروجكهاي شيطون همون نخاله هايي بودن كه ارتستن دنبالشون بود.

همهشون رويه جا به دام انداخته بود.

اعداد 1 تا صد رو اينا بوجود اورده بودن هر چي هست زير سر اينا بود.

اراتستن دنبال خواص اينا بود. اين ها همون عناصر اوليه براي ساختن اعداد يك تا صد بودن.اعداد كوچكتر از صد يا اينا هستن يا مضاربي از اينها.[5]

اينا بخشپذير نبودن.يعني بر هيچ عددي قابل تقسيم نبودن.

اعداد زوج رو همه تون مي شناسيد. اعدادي كه مي تونن نصف بشن.يا قابل تقسيم به 2هستن. همون مضارب عدد2.همونهايي كه در اولين مرحله، اراتستن از غربالش اونهابيرون ريخت.اعداد زوج رو باK2نشون مي دن Kهر عددي كه باشه وقتي در 2ضرب ميشه تبديل مي شه به يه عدد زوج.

K =1و2و3و4و...

K2=4و6و8و..(اعدادزوج)

اعدادفرد همونهايي هستن كه نمي تونن نصف بشن مثل 11

اعدادفرد روبا1+ K2نشون مي دن

يعني براي اعداد فرد و زوج فرمولي هست.

اراتستن تلاش كرد براي اين نخاله هاي ته غربال فرمولي پيدا كنه و اونا رو تحت كنترل خودش در بياره.ولي به نتيجه نرسيد.

اون خيلي دلش مي خواست بدونه چن تا از اين نخاله ها كه ما اسمشون رو اعداد اول[6] مي ذاريم وجود داره.ولي عمرش كفاف نداد. و بقيه كار رو به آدمهاي فضول بعدي واگذار كرد.هزاران نفر از اين آدمهاطي حدودسه هزارسال ميليونها ساعت از عمرشون رو صرف كردن تا به دوتا سوال اراتستن جواب بدن.

1-چند تا عدد اول داريم؟

2-فرمولشون چيه؟

بيش از دوهزار سال تلاش كردن

به يكيش جواب دادن[7]

بي نهايت عدد اول وجود داره

اما در مورد دوميش

هنوز كه هنوزه كسي نتونسته فرمولي براي اين نخاله ها پيدا كنه؟

شما چي؟

فكر كنيد! شايد بتونيد.

كافيه فضول باشيدو سمج!

راستي!

نخاله ها رو دست كم نگيريد!

---

[1] - يادم مي اد كتا بهاي رياضي دوره دانشگاه خيلي جالب بود.يه مقدمه داشت كه معمولا نوشته بود اين كتاب با بيان بسيار ساده مسايل رو مطرح مي كنه و داشتن اطلاعات رياضي مدرسه براي درك مطالب اين كتاب كفايت مي كنه. بيان اين موضوع براي خواننده خيلي خوشحال كننده و اميد بخش بود.اما چشمتون روز بد نبينه به محض اينكه اولين صفحه از متن كتاب رو باز مي كردي يه چاه ويلي جلوي پات ايجاد مي شد وتوش مي افتادي تا پايان اون ترم شايد هم ترمهاي بعدي توش دست وپا مي زدي.من تلاش مي كنم كه توي اين دام نيفتم و ساده و صميمي مطرح كنم.

[2] -من عمدا از اين واژه استفاده كردم ريشه فضول، فضله. بديهيه اغلب، آدما در اين دسته قرار نمي گيرن . انسانهاي متفكردنبال ريشه و علل وروابط پديده ها هستن ويه عمر با اين عشق زندگي مي كنن.حتي گاهي با اين حستجو و پيگيري ها براي خودشون دردسر درست مي كنن.(من به مفهوم رايج فضول كه جستجو در زندگي خصوصي ادمهاست كاري ندارم.)

[3] - قرنها فكر مي كردن مواد از عناصر چهار گانه خاك،آب،آتش و باد درست شدن

[4] -اعدادي بر3 قابل قسمت هستن كه مجموع رقم هاشون بر سه بخش پذير باشد.مثلا87چون 8+7=15و 15 بر سه بخش پذير است .پس 87 هم بر سه بخش پذير است.29 =87:3

[5] -قضيه بنيادين حساب مي گويد: اعدا د اول خشت اول بنا هايي هستندكه همه ي اعدادصحيح ديگر از آنها به طور ضربي ساخته مي شوند.

[6] عدد اول (به انگلیسی: Prime number) عددی طبیعی است که بر هیچ عددی بجز خود و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است. علامت اختصاری این اعداد n است.

رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.

پیدا کردن ضابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹

[7] -توجه داشته باشيد منظور از پاسخ دادن به يك سوال رياضي اثبات ان موضوع است(نه بيان يك فرضيه) قضيه "بي نهايت عدد اول وجود دارد" توسط اقليدس اثبات شد.