اعداد تام

اعدادتام

امروز مي خوام از اعداد جالب ديگري براتون بنويسم اعداد تام يا كامل

به مجموعه های زیر توجه کنید :

{4 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های 4

{6، 3 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های6

{12، 6 ، 4 ،3 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های 12

{17،1}مجموعه مقسوم علیه های 17

{28،14،7،4،2،1}مجموعه مقسوم علیه های 28

حال به مجموع مقسوم علیه های هر عدد بجز خودش توجه کنید :

3=2+1 ، مجموع مقسوم علیه های 4 بجز 4

6=3+2+1 مجموع مقسوم علیه های6 بجز 6

16=6+4+3+2+1، مجموع مقسوم علیه های12 بجز 12

1 ، مجموع مقسوم علیه های 17 بجز 17

28=14+7+4+2+1 مجموع مقسوم علیه های 28

ملاحظه می کنید که مجموع مقسوم علیه های هر عدد بجز خودش، می تواند کوچکتر از آن عددباشه[1] مانند (4و17) ، برابر با آن عددباشه مانند (6و28) یا بزرگتر از آن باشه[2]، مانند(12).

از بین اعداد فوق دو عدد6و28 اعدادکاملن[3]،چون با مجموع مقسوم علیه های کوچکتر از خودشون برابرند.[4]

اگر عددی با مجموع مقسوم علیه های کوچکتر از خودش برابر باشه،آن عدد را عدد کامل می‌گن.

نخستین دو عدد کامل (6 و 28 ) از زمانهای بسیار قدیم شناخته شده بودند . دو عدد کامل بعدی ( 496 و 8128 ) را اقلیدس پيدا كرد . پس از هزار و پانصد سال از زمان اقلیدس ، پنجمین عدد کامل (33550336)شناخته شد[5] . تاکنون با استفاده از کامپیوتر های قوی و مجهز،ریاضیدانان تونستن در مجموع 24 عدد کامل را پيدا كنن. جالبه بدونید ، بیست و چهارمین عدد کامل بیش از دوازده هزار رقم دارد .

در مورد اعداد کامل دو پرسش اساسی وجود داره که تاکنون بدون پاسخ مانده است :

1- آیا مجموعه اعداد کامل ، متناهیه یا نامتناهی؟

2- آیا اعداد فرد کامل نیز وجود دارن یا خیر ؟

****

موضوع اعداد تام به روزگارباستان برمي‌گرده ودرطول‌تاريخ ويژگيهاي مرموز بسياري رو به اونا نسبت دادن.رياضي دان هاي يوناني علاقه ي ويژه اي به اونها داشتن.

براي اينكه بريم تو دل اعداد تام به كمي مقدمه،يه كم حوصله و دقت نياز داريم .اولين نكته اينه كه بعضي از اعداد اول رو مي شه به صورت2ⁿ-1نوشت. وحشت نكنيد. فرار نكنيد! الان توضيح مي دم.بسيار ساده س فرض كنيم

n=2در اين صورت مقدار عبارت2ⁿ-1برابر1-2² ودر نهايت عدد 3 خواهد شد.(3اوله پس اين ادعا برايn=2بر قراره.يعني به ازايn=2فرمول ما عدد اول توليد مي كنه.)

حالا شمامي تونيدبه ازايn=2,3,4,5,6,7فرمول را كنترل كنيد. خيلي راحت! يادتون باشه موقع مطالعه‌ي رياضيات حتما يه قلم وكاغذ كنار دستتون باشه و هيچ نكته اي را بدون دليل نپذيريد.هر جا ابهامي هست موضوع روبنويسيد دوباره كنترل كنيد.

برايn=3مقدارعبارت2ⁿ-1برابر7هست. 7=1-2³

برايn=4 مقدارعبارت2ⁿ-1برابر15هست.(كه به درد نمي خوره)اگه گفتين چرا؟

وبه ازاي5n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر31هست31=1-2⁵

وبه ازاي6n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر63هست63=1- 2⁶ (اين هم بدرد بخور نيست)

وبه ازاي7n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر127هست127=1-2⁶

.

همونطوركه ملاحظه كرديدبه ازاي n=2,3,7,5, فرمول ماعدد اول توليد مي كنه

و براي6و n=4 اعداد15 و63 توليد مي شن كه اول نيست.

پس بعضي از اعداد اول به صورت2ⁿ-1هستند.به اين اعداد مي گن اعداد اول"مِرسِن". "مرسن" يه كشيش بودو اين اعداد رو اون پيدا كرد.

كه چي؟!اين همه صغرا وكبري واسه‌‌‌‌‌ي چيه؟ اعداد مرسن [6]به چه درد مي‌خورن؟اينهاچه ربطي به اعدادتام دارن؟

نكته همين جاست.اعداد تام ارتباطي نزديك با اعداد مرسن دارند.

قضيه اقليدس

اگر اول2ⁿ-1باشد(2ⁿ-1)^n-12 يك عددتام است.

حالا يه بررسي اوليه روي اين ادعا انجام مي ديم.(اينها روحتما بنويسيدو كنترل كنيد)

براي2 n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر3هست و مقدار2ⁿ-1) ( ^n-12 برابربا6 است.

براي n=3مقدارعبارت2ⁿ-1برابر7هست و مقدار2ⁿ-1) ( ^n-12 برابربا28 است.

براي n=5مقدارعبارت2ⁿ-1برابر31هست ومقدار2ⁿ-1) ( ^n-12 برابر496است.

براي7n=مقدارعبارت2ⁿ-1برابر127هست و مقدار2ⁿ-1) ( ^n-12برابر 8128 است.و.....عجب! همشون تام هستن!

مثل اينكه اين بابا اقليدس هم يه چيزايي حاليش بوده.

اما يادتون باشه تا اينجاي كار اين فقط يه ادعاست.اينكه براي چن تا عدد اين رابطه بر قراره دليل نمي شه ما اين ادعا رو قبول كنيم.

اين قضيه اثبات زيبايي داره خيلي هم كوتاه و ساده اس.

اونايي كه دوس دارن و اهل حال مي تونن برن دنبالش.

يه نكته ي ظريف اينجا وجود داره

آيا همه ي اعداد تام الزامابه صورت2ⁿ-1) ( ^n-12 هستند.

به عبارت ديگه آيا عكس قضيه ي اقليدس برقراره

2000سال طول كشيد تا اويلر به اين سوال پاسخ داد

قضيه اويلر

هر عدد تام زوج به صورت2ⁿ-1) ( ^n-12است كه در آن2ⁿ-1اول است.

تقريبا تكليف اعداد تام مشخص شد.

با اين حساب هر عدد تام رو مي تونيم به صورت2ⁿ-1) ( ^n-12 بنويسيم.

و اگه بتونيم عددي رو به صورت2ⁿ-1) ( ^n-12بنويسيم اون عدد تامه.[7]

يعني اگه عددتامي وجود داشته باشه به شكل فرمول بالاست و اگه عددي تو بتونه درفرمول بالا رو قرار بگيره اون يه عدد تام هست.

من عمدا كلمه ي زوج رو با قرمز نشون دادم.شما ممكنه بپرسيد مگه عدد تام فرد هم وجود داره؟من نمي دونم.يعني وجود نداره؟ بازم من نمي دونم. هيچكس نمي دونه!تا حالا هيچكس نتونسته يه عدد تام فرد رو ارائه بده. هيچكس هم نتونسته ثابت كنه عدد تام[8] وجود نداره يا اينكه همه ي اعداد تام الزاما زوج هستن! اينم يكي از اون معماهاي تاريخيه.مخصوص آدمهاي فضول دوران ما و بعد از ما!!

---

همه چيز در باره ي اعداد تام

---

مي ناميدند.(Defective) اين اعداد را ناقص [1]

مي ناميدند.(Excessive)اين اعداد را زائد[2]

28و6 كوچكترين اعداد تام هستندكه هندي ها و عبراني ها با آنها آشنا بودندبرخي از مفسران كتاب مقدس6و28 را اعداد اساسي مهندس اعلاي فلكي مي دانستند.انها به خلقت در شش روز و به دوره 28 روزه ي تناوب ماه اشاره مي كنند.

سنت اگوستين مي‌‌گويد:شش در ذات خود عددي است تام نه بخاطراينكه خداوند همه چيز را در شش روز آفريدبلكه بر عكس همه چيز را به اين دليل در شش روز آفريد كه اين عدد تام است.واگر خلقت شش روزه هم وجود نداشت باز اين عدد تام بود.[3]

تاكنون42عدد زوج تام شناخته شده است(تا 18فوريه 2005)كه 31 عدد آخراز سال1900به بعد كشف شده اند.چهل و دومين (بزرگترين عدد)عبارت است از

(1-2^25964951)2^25964950 كه داراي7816230رقم است!

تعريف ديكري هم براي اعداد تام موجوده يه عدد تامه اگر مجموع مقسوم عليه هاش(خود عدد و مقسوم عليه هاي كوچكتر از خودش)دو برابر اون عدد باشن.

مثلا مقسوم عليه هاي عدد6عبارتند از 1و2و3و6بنابر اين مجموع مقسوم عليه هاي عدد 6 برابره با12(اين تعريف در اثبات برخي قضايا كاربرد داره)

ششمين عدد تام8,589,869,056است. [5]

تاكنون 42عدد اول مرسن شناخته شده است بزرگترين انها1-2^25964951[6]

فايل PDF رو از اينجا بگيريد.

اعداد تام